Wer kennt nicht das Fernsehspiel "Geh aufs Ganze", welches ein Ableger der TV-Show "Let's make a deal" aus dem US-amerikanischen Fernsehens ist. Das Grundprinzip des Spiels ist es, dass ein Kandidat von 3 Toren eines wählen soll, um einen Hauptgewinn (z.B. ein Auto) zu gewinnen. Toll.
Hinter zwei der Tore ist eine Niete (ursprünglich eine Ziege), und hinter dem Verbleibenden der Hauptgewinn (das Auto). Wählt der Kandidat im ersten Schritt ein Tor (z.B. Tor A), so öffnet der Moderator im zweiten Schritt ein Tor, hinter welchem sich eine Niete befindet (z.B. Tor C) und fragt dann den Kandidaten, ob er sich nicht noch einmal umentscheiden möchte (nämlich von Tor A auf Tor B zu wechseln).
Im Prinzip, so wird man leicht denken, ist es völlig egal, ob sich der Kandidat nun umentscheidet oder nicht - immerhin sind die "Würfel ja eh gefallen". Aber so ist es eben nicht.
Und da ich es auch nicht besser als in Wikipedia erklären könnte, zitiere ich hier eine sehr elegante Schilderung:
Auch wenn viele Menschen dazu neigen, davon auszugehen, dass es keinen Unterschied zwischen dem Torwechsel oder dem Verharren auf der getroffenen Entscheidung gäbe, ist diese Annahme falsch.In einem Satz: Kann man durch eigene Wahl nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 erreichen, verbleiben nach Aufzeigen der Niete die anderen 2/3 beim dritten Tor, welches man wählen sollte.Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zuerst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn nun klar ist, hinter welchem Tor das Auto nicht steht, dieses also die Wahrscheinlichkeit 0 hat, das ausgewählte Tor aber immer noch eine 1/3-Chance hat – siehe weiter unten –, liegt jetzt die 2/3-Wahrscheinlichkeit auf dem nichtgewählten Tor. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto.
Um die Lösung zu verstehen, muss man bedenken, dass die Chance auf dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändert – unabhängig ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht –, andererseits beträgt die Wahrscheinlichkeitssumme aller Auswahlmöglichkeiten 1.
Oder anders: In 2/3 aller Fälle hat der Kandidat eine Tür mit einer Ziege ausgewählt. Der Moderator muss auf jeden Fall eine Tür mit einer Ziege öffnen. Das heißt, dass in 2/3 aller Fälle die verbliebene Tür den Preis enthält. Daher ist ein Wechsel stets sinnvoll.
Ich finde diese Wahrscheinlichkeitsrechnung äußerst interessant und habe auch gleich hier eine Online-Simulation mitgemacht, um zu sehen, wie sich die Wahrscheinlichkeit verteilt. Und tatsächlich führt das Wechseln des Tores zu einer höheren Wahrscheinlichkeit, dass man gewinnt.
Und wer es so richtig mathematisch mag, der kann sich das hier ja mal anschauen.
